В немецком четыре падежа: Nominativ, Akkusativ, Dativ и Genitiv. Nominativ обычно связан с подлежащим, Akkusativ — с прямым дополнением, Dativ часто используется после определенных предлогов и с косвенным дополнением, а Genitiv показывает принадлежность. Именно падеж определяет, какой вариант нужен перед существительным.
Особенно хорошо это видно на мужском роде. Сравним: der Mann kommt — «мужчина приходит», ich sehe den Mann — «я вижу мужчину», ich spreche mit dem Mann — «я говорю с мужчиной». Само существительное почти не меняется, но его грамматическая роль считывается по слову перед ним.
С женским и средним родом часть форм совпадает. Например, die Frau используется и в Nominativ, и в Akkusativ, а das Kind тоже сохраняется в этих двух падежах. Поэтому важно не пытаться искать новое окончание там, где его просто нет.
Основные формы определенного артикля:Nominativ: der Mann, die Frau, das Kind, die KinderAkkusativ: den Mann, die Frau, das Kind, die KinderDativ: dem Mann, der Frau, dem Kind, den KindernGenitiv: des Mannes, der Frau, des Kindes, der KinderЭту схему лучше воспринимать не как большую таблицу, а как несколько коротких цепочек. Для мужского рода удобно запомнить der — den — dem — des, для женского — die — die — der — der, для среднего — das — das — dem — des. Во множественном числе работает ряд die — die — den — der.
Если хочется сначала увидеть всю падежную систему целиком, пригодится статья про
склонения в немецком языке. Там можно посмотреть, как вместе работают существительное, определение и слова перед ним. После этого формы артикля легче воспринимаются как часть общей грамматической конструкции.